Espirales de transición
Movimiento en una curva horizontal
Cuando un
vehículo se desplaza por una recta sus ocupantes sólo perciben la sensación de
movimiento hacia adelante, producida por la fuerza de impulsión del motor, y,
ocasionalmente, la aceleración o deceleración provocada por las maniobras de
otros vehículos o por subidas o bajadas en el recorrido. De cualquier manera,
el movimiento conserva una única dirección, sin provocar ninguna sensación de
inseguridad debido a ello. Sin embargo, cuando el mismo vehículo se adentra en
una curva horizontal ocurre un fenómeno generalmente malinterpretado por los
estudiosos del diseño de vías.
Para que el
vehículo siga la trayectoria curva es necesario que se produzca una aceleración
dirigida hacia el centro de la curva. Esta aceleración, denominada aceleración
centrípeta (“hacia el centro”, literalmente), es el resultado del giro
de los neumáticos del vehículo, que son los que transmiten la fuerza del motor.
Es bueno aclarar que no se trata de una fuerza, sino de una aceleración, que
también es un vector y que, como ya se dijo va dirigido hacia el centro de la
curva, que vamos a suponer que es circular.
Lo que
sucede es que para los ocupantes del vehículo (que no conforman un cuerpo
rígido con él), el cambio de trayectoria es percibido de manera diferente. Si
la fricción entre los pantalones (o lo que sea que lleven puesto) y la silla
del auto no es suficientemente grande, las personas tienden a seguir su
recorrido en línea recta, por inercia diría Newton -de acuerdo a su Primera
Ley-, hasta que sean detenidos por alguna parte del vehículo, como la puerta en
el caso del conductor; esto es sentido como si existiera una fuerza que
quisiera tirarnos hacia afuera de la curva y es lo que muchas personas llaman
“fuerza centrífuga” (“hacia afuera del centro”), pero tal fuerza –en un marco de referencia inercial– no
existe, es una “fuerza ficticia” y no debe ser incluida en
los análisis que conllevan a los caĺculos del diseño geométrico.
Para aclarar
un poco el asunto miremos esta gráfica de Newtonian Physics,
un libro de física escrito por Benjamin Crowell que se puede
descargar libremente (con licencia Creative Commons Share Alike)
en el proyecto Ligth and Matter:
1.Cuando se
toma como referencia el auto que gira (marco de referencia no inercial), la
bola de bolos parece violar las leyes de Newton porque aparentemente se acelera
hacia afuera y esa aceleración no es el resultado de una fuerza de interacción
con otro objeto.
2.En un
marco de referencia inercial, como la superficie de la Tierra, la bola obedece
la primera ley de Newton. Ninguna fuerza actúa sobre ella, por lo tanto
continua moviéndose en línea recta. Es el vehículo quien está participando en
una interacción con el asfalto y se ve sometido a una aceleración (la
centrípeta), siguiendo la segunda ley de Newton.
Transición de la curvatura y la aceleración centrípeta
Recordemos
estos dos conceptos que son esenciales para entender el uso de las curvas
espirales de transición: curvatura y aceleración centrípeta.
Curvatura: Se entiende como el inverso del radio de la curva circular. En recta la curvatura es
cero porque el radio se hace infinito, mientras que para una curva de
radio Rc se presenta una curvatura igual a 1/Rc. Cuando un vehículo
llega a una curva circular simple experimenta una
variación repentina de la curvatura, de cero a 1/Rc, en el punto de inicio de
la curva (PC), que se mantiene igual a lo largo de toda la curva hasta que
termina de nuevo intempestivamente en el PT.
Aceleración centrípeta: La
aceleración centrípeta es directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad del vehículo e inversamente proporcional al radio de
la curva, entonces se tiene que
Cuando se ingresa en una curva también se
presenta un cambio en la aceleración centrípeta, tanto en el PC como en el PT,
pasando de una aceleración nula en recta a una definida como
en la curva
de radio Rc.
en la curva
de radio Rc. 
Volviendo a
lo que veníamos, tenemos certeza de una cosa: cuando uno conduce el vehículo
siente que se va a salir de la curva (especialmente si la velocidad que trae es
más alta que la que permite la curva) y reacciona aplicando la dirección hacia
adentro de la curva con mayor vigor, provocando que la trayectoria que sigue el
auto no describa en realidad una curva circular, causando además una situación
potencial de accidente porque invade el carril en el que circulan los vehículos
en sentido contrario (en una carretera de dos carriles y dos sentidos). Para
remediar esto se han venido utilizando curvas de transición entre la recta y la
curva circular que apaciguan la sensación causada por la curvatura y por la
aceleración centrípeta.
Estas curvas
de transición deben cumplir un objetivo claro: La transición de la curvatura y
la de la aceleración centrípeta debe ser constante a lo largo del
desarrollo de la curva de transición. Es decir, el radio debe disminuir en
una proporción constante a medida que se avanza en la curva, al tiempo que la
aceleración centrípeta aumenta.
Las anteriores gráficas muestran la transición
gradual de la curvatura y la aceleración centrípeta entre el tramo recto
(tangente) y la curva circular utilizando una curva de transición, tanto a la
entrada como a la salida, como se observa en el esquema de la curva. Los puntos
son: TE (Tangente – Espiral), EC (Espiral – Circular), CE (Circular – Espiral)
y ET (Espiral – Tangente).
Siguiendo el objetivo propuesto para la transición,
la variación de la aceleración centrípeta por unidad de longitud está dada por:
Para un
punto P dentro de la curva de transición, que está a una distancia desde
el comienzo de la curva (punto TE), y al cual le corresponde un radio ,
la aceleración centrípeta es:
En esta ecuación R es inversamente proporcional a
L, es decir, el radio disminuye de manera proporcional al aumento de la
longitud recorrida sobre la curva de transición (como se ve en la animación de
abajo), que era exactamente lo que se buscaba, pues al disminuir el radio,
crece la aceleración centrípeta también en forma gradual.
Elementos geométricos de la espiral
La curva
espiral de transición se puede definir en función de los siguientes elementos:
x, y:
Coordenadas rectangulares de un punto p (cualquier punto sobre
la espiral), referidas a los ejes x e y, donde el
eje x coincide con la tangente (la parte recta) y el eje y es
perpendicular a ella. El origen de estas coordenadas es el punto TE para la
espiral de entrada y el punto ET para la de salida, con dirección positiva
hacia el PI -para el eje x– y hacia el centro de la curva (O) -para
el eje y-.
θ: Ángulo de
deflexión principal para el punto p (De nuevo, el punto p es
un punto cualquiera sobre la curva y no debe ser confundido con el punto
paramétrico, que es aquel en el que R=L). Éste ángulo se mide entre el
alineamiento recto y una recta tangente a la espiral que pase por el
punto p.
θe: Ángulo
de deflexión principal de la espiral. También es el ángulo que se forma entre
una línea perpendicular a la tangente en el punto TE (donde R=∞) y el radio
de la curva circular (Rc).
θp: Ángulo
paramétrico, es decir, la deflexión principal para el punto en el que R=L.
R: Radio
correspondiente al punto p.
Rc: Radio de
la curva circular simple que sigue a la espiral.
L: Longitud
recorrida sobre la espiral desde el TE hasta el punto p.
dL: Sección
infinitesimal de la curva espiral.
dθ: Elemento
infinitesimal (diferencial) del ángulo de deflexión principal.
Suponiendo
que en una sección infinitesimal la espiral se comporte como un arco circular
se tiene (en este caso dθ está en radianes, por ende θ también está
en radianes)
Si queremos encontrar θ en grados sexagesimales,
aplicamos los factores de conversión correspondientes:
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